4. Точечный заряд $$q$$, помещенный в точку $$E$$, создает в точке $$B$$ электростатическое поле, потенциал которого $$\varphi_0$$ (рис. 55). Определите потенциал в точке $$A$$ в случае, если заряд $$q$$ поместить в точку $$C$$, а заряд $$-2q$$ в точку $$D$$.

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться принципом суперпозиции потенциалов. Потенциал в точке $$A$$ будет суммой потенциалов, созданных каждым зарядом в этой точке. Пусть $$k$$ - коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $$k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$$. Координаты точек из рисунка: $$A = (2, 2)$$ см $$B = (10, 2)$$ см $$C = (6, 6)$$ см $$D = (2, 10)$$ см $$E = (10, 10)$$ см По условию, заряд $$q$$ в точке $$E$$ создает потенциал $$\varphi_0$$ в точке $$B$$. Расстояние между $$E$$ и $$B$$ равно 8 см. Тогда: $$\varphi_0 = k \frac{q}{r_{EB}} = k \frac{q}{8}$$ Отсюда мы можем выразить $$kq$$: $$kq = 8 \varphi_0$$ Теперь рассмотрим случай, когда заряд $$q$$ находится в точке $$C$$, а заряд $$-2q$$ в точке $$D$$. Найдем потенциал в точке $$A$$, созданный зарядом $$q$$ в точке $$C$$, и потенциал, созданный зарядом $$-2q$$ в точке $$D$$. Расстояние $$r_{CA}$$ между точками $$C$$ и $$A$$: $$r_{CA} = \sqrt{(6-2)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ Расстояние $$r_{DA}$$ между точками $$D$$ и $$A$$ равно 8 см. Потенциал в точке $$A$$ от заряда $$q$$ в точке $$C$$: $$\varphi_{CA} = k \frac{q}{r_{CA}} = k \frac{q}{4\sqrt{2}} = \frac{kq}{4\sqrt{2}} = \frac{8\varphi_0}{4\sqrt{2}} = \frac{2\varphi_0}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \varphi_0$$ Потенциал в точке $$A$$ от заряда $$-2q$$ в точке $$D$$: $$\varphi_{DA} = k \frac{-2q}{r_{DA}} = -2k \frac{q}{8} = -2 \frac{kq}{8} = -2 \frac{8\varphi_0}{8} = -2\varphi_0$$ Результирующий потенциал в точке $$A$$ равен сумме потенциалов: $$\varphi_A = \varphi_{CA} + \varphi_{DA} = \sqrt{2} \varphi_0 - 2\varphi_0 = (\sqrt{2} - 2)\varphi_0$$ Ответ: $$(\sqrt{2} - 2)\varphi_0$$