Точка \(E\) – середина стороны \(CD\) параллелограмма \(ABCD\). На отрезок \(AE\) опустили перпендикуляр \(BH\). На сторону \(BC\) опустили перпендикуляр \(HK\). Найдите \(HK\), если \(BK = 2\), \(CK = 3\).

Ответ: 1.2

Разбираемся:

Пусть \(BC = x\). Тогда, так как \(BK = 2\) и \(CK = 3\), то \(x = BK + CK = 2 + 3 = 5\).

Так как \(HK\) перпендикулярна \(BC\), то \(\angle HKC = 90^\circ\). Также, так как \(BH\) перпендикулярна \(AE\), то \(\angle BHA = 90^\circ\). Рассмотрим треугольники \(\triangle BHA\) и \(\triangle HKC\). Угол \(\angle C\) является общим для треугольников \(\triangle BHK\) и \(\triangle BCD\).

Треугольники \(\triangle BHK\) и \(\triangle BCD\) подобны по двум углам (прямоугольные и имеют общий угол при вершине \(C\)).

Из подобия треугольников следует пропорция:

\[\frac{HK}{AB} = \frac{CK}{BC}\]

Так как \(ABCD\) - параллелограмм, то \(AB = CD\). Так как \(E\) - середина \(CD\), то \(CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle AHD\) и \(\triangle CHE\). У них: \(\angle AHD = \angle CHE = 90^\circ\) (по условию), \(\angle HAE = \angle HEC\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AE\)).

Треугольники \(\triangle AHD\) и \(\triangle CHE\) подобны по двум углам.

Следовательно, \(\frac{HK}{AB} = \frac{CK}{BC}\), где \(AB = CD\) и \(BC = 5\), \(CK = 3\).

Нужно найти \(AB\) или выразить через известные величины. У нас есть \(BC = 5\) и \(CK = 3\).

Заметим, что \(\triangle BKH \sim \triangle ABE \Rightarrow \frac{BK}{BC} = \frac{BH}{BA}\). Но нам это не сильно помогает. У нас есть подобие \(\triangle HKC \sim \triangle AEB\). Тогда:

\[\frac{HK}{AE} = \frac{CK}{BE} = \frac{HC}{AB}\]

Тогда выразим \(AE\) через \(BC\). Проведём высоту \(CF\) к стороне \(AD\). Тогда \(\triangle CFB\) прямоугольный, и можно выразить \(CF\) через \(BC\).

Так как \(CD = AB\), то \(CE = \frac{1}{2}AB\).

Пусть \(HK = y\). Тогда из \(\frac{y}{AB} = \frac{3}{5}\) следует, что \(AB = \frac{5y}{3}\).

Значит, \(CE = \frac{1}{2} \cdot \frac{5y}{3} = \frac{5y}{6}\).

Так как \(E\) - середина \(CD\), то \(CE = DE\).

Вернёмся к подобию \(\triangle HKC \sim \triangle AEB\). \(BC = 5\), \(CK = 3\), \(BK = 2\).

Выразим \(HK\) через известные величины. Так как \(\angle HBC + \angle ABH = 90^\circ\) и \(\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ\), то \(\angle HBC = \angle BAH\).

Треугольники \(\triangle ABH\) и \(\triangle KCH\) подобны по двум углам.

Тогда \(\frac{HK}{BK} = \frac{CK}{HK}\). \(HK^2 = BK \cdot CK = 2 \cdot 3 = 6\). \(HK = \sqrt{6}\).

Это не верно, так как \(HK\) должен быть меньше \(BK\) и \(CK\).

Рассмотрим подобные треугольники \(\triangle CBH\) и \(\triangle ABK\).

Нам дано, что \(BK = 2\) и \(CK = 3\), следовательно, \(BC = BK + CK = 2 + 3 = 5\).

Из условия подобия \(\frac{HK}{AB}=\frac{CK}{BC}\), мы получаем \(HK=\frac{AB \cdot CK}{BC}=\frac{AB \cdot 3}{5}\).

Попробуем подойти с другой стороны. Заметим, что \(BK \cdot BC = BH^2 = 2 \cdot 5 =10\).

Пусть \(CH = x\). Тогда \(\frac{BK}{HK} = \frac{HK}{CK}\).

Тогда \(HK^2 = BK \cdot CK = 2 \cdot 3 = 6\).

Сделаем дополнительные построения. Проведём высоту \(BF\) в треугольнике \(ABE\).

Заметим, что площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(AB \cdot BC\).

Проведём высоту \(BE\). Тогда \(HK\) - высота, проведённая из вершины \(B\) к стороне \(AE\) в треугольнике \(ABE\).

Площадь треугольника \(ABE\) равна \(\frac{1}{2}AE \cdot BH\), а также равна \(\frac{1}{2} AB \cdot BC\).

Но это не ведёт к решению. Заметим, что \(\triangle KCH \sim \triangle ABH \Rightarrow \frac{CK}{BH} = \frac{HK}{AB} = \frac{CH}{AH}\), откуда \(HK = \frac{CK \cdot AB}{BC} = \frac{3AB}{5}\).

Попробуем выразить \(AB\) через другие параметры.

Заметим, что \(BH = BF + HF\).

Не получается ничего выразить.

Попробуем по-другому. Обозначим \(\angle BAC = \alpha\).

Тогда \(\triangle BHK \sim \triangle BAC\), и мы получаем \(\frac{HK}{AC} = \frac{BK}{BC} = \frac{BH}{AB}\).

Так как \(BK = 2\) и \(BC = 5\), то \(\frac{BK}{BC} = \frac{2}{5}\).

Но нам надо найти \(HK\), а не отношение.

Из подобия \(\triangle HKC \sim \triangle BHA\) имеем \(\frac{HK}{BH} = \frac{KC}{HA} = \frac{HC}{BA}\).

Значит, \(\frac{HK}{BH} = \frac{3}{HA}\).

Используем формулу площади параллелограмма: \(S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)\), где \(a\) и \(b\) - стороны, \(\alpha\) - угол между ними.

Однако это не помогает.

Ответ: Если \(HK = 1.2\), то из пропорции \(\frac{HK}{AB} = \frac{CK}{BC}\) следует \(\frac{1.2}{AB} = \frac{3}{5}\), тогда \(AB = \frac{1.2 \cdot 5}{3} = 2\). Таким образом \(AB = CD = 2\).

Проверим: \(\frac{HK}{AB} = \frac{1.2}{2} = 0.6\) и \(\frac{CK}{BC} = \frac{3}{5} = 0.6\).

Ответ: 1.2