Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N, P — середины отрезков BA, BC, BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника ADC, если площадь треугольника MNP равна 18 см².

а) В треугольнике BAC точки M и N — середины сторон BA и BC, поэтому средняя линия MN параллельна AC.

В треугольнике BCD точки N и P — середины сторон BC и BD, поэтому NP параллельна CD.

Прямые MN и NP пересекаются в точке N и лежат в плоскости MNP; параллельные им AC и CD пересекаются в точке C и лежат в плоскости ADC. Следовательно, плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Гомотетия с центром B и коэффициентом 1/2 переводит A, C, D соответственно в M, N, P. Поэтому площади соответствующих треугольников относятся как квадраты коэффициента: S(MNP) = 1/4 S(ADC).

S(ADC) = 4 · 18 = 72 см².

Ответ: 72 см².