Точка C лежит на отрезке AB, при этом AB = 3, AC = 1, BC = 2. Найдите множество точек M таких, что: 2AM² + BM² + CM² = 18. Какую линию образуют такие точки?

Так как точка C лежит на отрезке AB, можно выбрать координаты: A = 0, C = 1, B = 3.

Для точек с весами 2, 1 и 1 используем тождество:

\(2AM^2+BM^2+CM^2=4CM^2+2AC^2+BC^2\).

Подставим известные длины:

\(18=4CM^2+2\cdot1^2+2^2=4CM^2+6\).

Отсюда \(4CM^2=12\), значит \(CM^2=3\) и \(CM=\sqrt{3}\).

Ответ: окружность с центром в точке C и радиусом \(\sqrt{3}\).