Точка D лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС (AC = BC). Перпендикуляр DO к плоскости АВС падает в центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Найди длину перпендикуляра DO, если расстояние от точки D до середины стороны АВ треугольника равно 5, АВ = 12 и АС = 10. Запиши в поле ответа верное число.

Решение:

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC = 10 и AB = 12. Пусть O - центр вписанной окружности, а M - середина стороны AB. Тогда OM - радиус вписанной окружности, проведенный к стороне AB.

2) Найдем высоту CH треугольника ABC, проведенную к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, то высота CH является и медианой, то есть AH = HB = AB/2 = 12/2 = 6.

3) В прямоугольном треугольнике AHC по теореме Пифагора найдем высоту CH:
$$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

4) Найдем площадь треугольника ABC:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$

5) Найдем полупериметр треугольника ABC:
$$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{12 + 10 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

6) Найдем радиус вписанной окружности OM:
$$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{48}{16} = 3$$

7) Рассмотрим прямоугольный треугольник DOM, где DM = 5 (расстояние от точки D до середины стороны AB), OM = 3 (радиус вписанной окружности). По теореме Пифагора найдем DO:
$$DO = \sqrt{DM^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

Ответ: 4