Точка движется по закону x(t)=t^3-9t^2+24t (где х— расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите минимальное значение скорости на [0;6].

Решение:

Чтобы найти минимальное значение скорости, сначала нужно найти функцию скорости \( v(t) \), которая является производной от функции положения \( x(t) \).

1. Найдем производную функции \( x(t) \):
   \( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 9t^2 + 24t) \)
2. Продифференцируем каждый член:
   \( v(t) = 3t^2 - 18t + 24 \)
3. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю (то есть, найдем точки, где ускорение равно нулю):
   \( v'(t) = 6t - 18 \)
   \( 6t - 18 = 0 \)
   \( 6t = 18 \)
   \( t = 3 \)
4. Проверим значения скорости на концах интервала \( [0, 6] \) и в критической точке \( t=3 \).
5. Скорость в точке \( t=0 \):
   \( v(0) = 3(0)^2 - 18(0) + 24 = 24 \) м/с.
6. Скорость в точке \( t=3 \):
   \( v(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 3(9) - 54 + 24 = 27 - 54 + 24 = -3 \) м/с.
7. Скорость в точке \( t=6 \):
   \( v(6) = 3(6)^2 - 18(6) + 24 = 3(36) - 108 + 24 = 108 - 108 + 24 = 24 \) м/с.
8. Сравним полученные значения: \( 24, -3, 24 \). Наименьшее значение скорости равно \( -3 \) м/с.

Ответ: минимальное значение скорости равно -3 м/с.