Точка движется по закону x(t)=t^3-9t^2+24t (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите минимальное значение скорости на [0;6].

Решение:

Скорость точки является первой производной от её положения по времени. Найдем производную функции x(t):

• \( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 9t^2 + 24t) \)
• \( v(t) = 3t^2 - 18t + 24 \)

Чтобы найти минимальное значение скорости, найдем производную функции скорости (ускорение) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.

• \( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 18t + 24) \)
• \( a(t) = 6t - 18 \)
• Приравняем ускорение к нулю: \( 6t - 18 = 0 \)
• \( 6t = 18 \)
• \( t = 3 \)

Теперь найдем значения скорости в этой точке и на концах интервала [0; 6].

• При \( t = 0 \): \( v(0) = 3(0)^2 - 18(0) + 24 = 24 \)
• При \( t = 3 \): \( v(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 24 = 3(9) - 54 + 24 = 27 - 54 + 24 = -3 \)
• При \( t = 6 \): \( v(6) = 3(6)^2 - 18(6) + 24 = 3(36) - 108 + 24 = 108 - 108 + 24 = 24 \)

Сравнивая значения скорости (24, -3, 24), видим, что минимальное значение скорости равно -3.

Ответ: -3