Точка движется равномерно по окружности со скоростью v. Другая точка движется равномерно вдоль диаметра этой окружности со скоростью u. Найдите скорость первой точки относительно второй в момент, когда радиус-вектор первой точки составляет угол α = 60° с направлением движения второй точки.

Решение:

Обозначим радиус окружности как \( R \). Скорость первой точки, движущейся по окружности, имеет модуль \( v \). Скорость второй точки, движущейся вдоль диаметра, имеет модуль \( u \).

В момент времени \( t \) первая точка находится на окружности, а вторая — в центре окружности (если считать, что она движется из центра).

Скорость первой точки \( \vec{v}_1 \) направлена по касательной к окружности. Скорость второй точки \( \vec{v}_2 \) направлена вдоль диаметра.

Пусть вторая точка движется вдоль оси \( x \). Первая точка движется по окружности радиуса \( R \). В момент, когда угол между радиусом-вектором и направлением движения второй точки составляет \( \alpha = 60^{\circ} \), скорость первой точки \( \vec{v}_1 \) имеет компоненты:

• \( v_{1x} = v \cos(60^{\circ}) = v \cdot \frac{1}{2} \)
• \( v_{1y} = v \sin(60^{\circ}) = v \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Скорость второй точки \( \vec{v}_2 \) направлена вдоль оси \( x \), так что \( \vec{v}_2 = (u, 0) \).

Скорость первой точки относительно второй равна \( \vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \).

\( \vec{v}_{12} = (v_{1x} - u, v_{1y} - 0) = (\frac{v}{2} - u, \frac{v\sqrt{3}}{2}) \).

Модуль скорости первой точки относительно второй равен:

\[ |\vec{v}_{12}| = \sqrt{(\frac{v}{2} - u)^2 + (\frac{v\sqrt{3}}{2})^2} \]

\[ |\vec{v}_{12}| = \sqrt{\frac{v^2}{4} - vu + u^2 + \frac{3v^2}{4}} \]

\[ |\vec{v}_{12}| = \sqrt{(\frac{v^2}{4} + \frac{3v^2}{4}) - vu + u^2} \]

\[ |\vec{v}_{12}| = \sqrt{v^2 - vu + u^2} \]

Ответ: Скорость первой точки относительно второй равна \( \sqrt{v^2 - vu + u^2} \).