Точка Е принадлежит ребру А,В, куба ABCDA,B,C,D, AE: BE = 1:5. Если α – угол между прямой СЕ и плоскостью АА,С,С, то значение выражения 1/tg²α равно ...

Краткая запись:

• Куб ABCDA₁B₁C₁D₁
• Точка E на ребре AB, AE: BE = 1:5
• α – угол между прямой CE и плоскостью AA₁C₁C
• Найти: \(\frac{1}{\text{tg}^2\alpha}\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введение системы координат.
   Поместим начало координат в точку A. Пусть ребро куба равно a. Тогда координаты вершин: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A₁(0,0,a), B₁(a,0,a), C₁(a,a,a), D₁(0,a,a).
2. Шаг 2: Определение координат точки E.
   Точка E лежит на ребре AB, и AE:BE = 1:5. Следовательно, E делит отрезок AB в отношении 1:5. Координаты E: \( E = \frac{5A + 1B}{1+5} = \frac{5(0,0,0) + 1(a,0,0)}{6} = (\frac{a}{6}, 0, 0) \).
3. Шаг 3: Определение вектора прямой CE.
   Вектор \( ś = CE = E - C = (\frac{a}{6}, 0, 0) - (a,a,0) = (-\frac{5a}{6}, -a, 0) \).
4. Шаг 4: Определение нормального вектора плоскости AA₁C₁C.
   Плоскость AA₁C₁C содержит векторы \( AA₁ = (0,0,a) \) и \( AC = (a,a,0) \). Нормальный вектор \( n \) можно найти как векторное произведение: \( n = AA₁ \times AC = (0,0,a) \times (a,a,0) = (-a^2, a^2, 0) \). Для удобства можно взять нормальный вектор \( n = (-1, 1, 0) \) (разделив на \( a^2 \)).
5. Шаг 5: Вычисление угла α между прямой CE и плоскостью AA₁C₁C.
   Синус угла между прямой и плоскостью равен отношению модуля скалярного произведения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости к произведению их длин: \( \text{sin}\alpha = \frac{|\u0073́ \cdot \u006E|}{|\u0073́| |\u006E|} \).
   \( \u0073́ \cdot \u006E = (-\frac{5a}{6})(-1) + (-a)(1) + (0)(0) = \frac{5a}{6} - a = -\frac{a}{6} \).
   \( |\u0073́| = \sqrt{(-\frac{5a}{6})^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{25a^2}{36} + a^2} = \sqrt{\frac{61a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{61}}{6} \).
   \( |\u006E| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \).
   \( \text{sin}\alpha = \frac{|-\frac{a}{6}|}{\frac{a\sqrt{61}}{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{a}{6}}{\frac{a\sqrt{122}}{6}} = \frac{1}{\sqrt{122}} \).
6. Шаг 6: Вычисление значения 1/tg²α.
   Из \( \text{sin}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha = 1 \) и \( \text{tg}\alpha = \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha} \), получим \( \text{tg}^2\alpha = \frac{\text{sin}^2\alpha}{1 - \text{sin}^2\alpha} \).
   \( \text{sin}^2\alpha = (\frac{1}{\sqrt{122}})^2 = \frac{1}{122} \).
   \( \text{tg}^2\alpha = \frac{\frac{1}{122}}{1 - \frac{1}{122}} = \frac{\frac{1}{122}}{\frac{121}{122}} = \frac{1}{121} \).
   \( \frac{1}{\text{tg}^2\alpha} = 121 \).

Ответ: 121