Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD, а EC = ED. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Доказательство:

Пусть ABCD — трапеция, где AB — боковая сторона. Точка E — середина AB. Дано, что EC = ED.

Рассмотрим треугольники AEC и BED. Нам неизвестно, является ли трапеция равнобедренной или прямоугольной, поэтому мы не можем утверждать, что AE = EB или AC = BD.

Проведём через точку E прямую, параллельную основаниям трапеции BC и AD. Пусть эта прямая пересекает сторону CD в точке F.

Так как E — середина AB, и EF || BC || AD, то EF является средней линией трапеции. По свойству средней линии трапеции, она делит боковые стороны пополам. Это означает, что если бы мы провели среднюю линию через середину CD, она бы прошла через F.

Однако, нам дано, что EC = ED. Это означает, что точка E равноудалена от вершин C и D. Если точка равноудалена от двух точек, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти точки.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, и диагонали равны. В прямоугольной трапеции один из углов при основании равен 90 градусов.

Рассмотрим треугольник CDE. Так как EC = ED, то треугольник CDE — равнобедренный.

Проведём перпендикуляр из E к основанию AD и основанию BC. Пусть эти перпендикуляры будут высотами.

Рассмотрим треугольник ECD. Проведём медиану EF к стороне CD. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, EF ⊥ CD.

Теперь вернёмся к трапеции. Пусть AD || BC. E — середина AB.

Проведём через E прямую, параллельную AD и BC. Пусть она пересекает CD в точке F. Тогда EF — средняя линия трапеции. Она делит CD пополам, т.е. CF = FD.

Теперь рассмотрим треугольники EFC и EFD. У нас есть:

• EF — общая сторона.
• CF = FD (по свойству средней линии).
• EC = ED (по условию).

Следовательно, по трём сторонам, треугольники EFC и EFD равны (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что углы ∠EFC = ∠EFD.

Так как точки C, F, D лежат на одной прямой CD, то ∠EFC + ∠EFD = 180°.

Следовательно, 2 * ∠EFC = 180°, откуда ∠EFC = 90°.

Значит, EF ⊥ CD.

Поскольку EF || AD и EF ⊥ CD, то AD ⊥ CD.

Аналогично, так как EF || BC и EF ⊥ CD, то BC ⊥ CD.

Если одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям, то трапеция является прямоугольной.

Следовательно, трапеция ABCD прямоугольная.

Доказано.