Точка E — середина ребра AD тетраэдра DABC (рис. 5.22). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B и E и параллельной прямой AC. Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно 4 см.

Обозначим через F точку пересечения секущей плоскости с ребром DC.

1. В грани ADC плоскость проходит через E и параллельна AC. По теореме о средней линии треугольника, поскольку E — середина AD, точка F — середина DC, а EF ∥ AC.
2. В грани DAC длина EF равна половине AC: EF = 2 см.
3. В грани DAB пересечение плоскости с гранью — отрезок BE. Так как E — середина AD, а AB = AD = 4 см, треугольник ABD равносторонний, поэтому BE — его медиана и BE = 2√3 см.
4. В грани BDC отрезок BF соединяет вершину B с серединой DC. Поскольку BD = BC = DC = 4 см, BF — медиана равностороннего треугольника, и BF = 2√3 см.
5. Сечение — четырёхугольник BEFC; его стороны BE, EF, FC и CB. Здесь FC = 2 см, CB = 4 см.

Периметр: P = 2√3 + 2 + 2 + 4 = 8 + 2√3 см.

Ответ: 8 + 2√3 см.