Точка E — середина ребра C₁C куба A₁B₁C₁D₁ABCD. Найдите косинус угла между прямыми BE и C₁A. Варианты: а) √(3/5); б) √(4/5); в) √(1/5); г) √(2/5).

Пусть ребро куба равно 1. Введём координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), C₁(1, 1, 1). Тогда E — середина C₁C, поэтому E(1, 1, 1/2).

1. Направляющий вектор прямой BE: \(\overrightarrow{BE}=(0,1,1/2)\).
2. Направляющий вектор прямой C₁A: \(\overrightarrow{C₁A}=(-1,-1,-1)\).
3. Косинус угла между прямыми берём по модулю скалярного произведения: \(\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{C₁A}|}{|\overrightarrow{BE}|\,|\overrightarrow{C₁A}|}=\frac{1}{(\sqrt{5}/2)\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{4}{15}}\).

Ответ: \(\frac{2}{\sqrt{15}}\). Среди предложенных вариантов такого ответа нет.