Точка Е – середина стороны CD прямоугольника ABCD. На стороне ВС взяли такую точку К, что угол АЕК равен 90°. Найдите длину отрезка АК, если ВК=5, СК=1. В ответ запишите только число.

Решение:

Задача решается с использованием геометрических построений и свойств треугольников.

Построение:

1. Продолжим прямую АЕ до пересечения с прямой ВС в точке Т.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники △DEA и △CET.

• DE = CE (по условию, так как E – середина CD).
• ∠DEA = ∠CET (вертикальные углы).
• ∠DAE = ∠TCE (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), △DEA = △CET. Следовательно, AD = CT.

Так как ABCD – прямоугольник, то AD = BC.

Значит, CT = BC.

BC = BK + CK = 5 + 1 = 6. Следовательно, CT = 6.

Теперь рассмотрим треугольник △AKT.

По условию, ∠AEK = 90°. Так как точки A, E, T лежат на одной прямой, то ∠AEK — это и есть ∠AET.

Таким образом, прямая KE является высотой треугольника △AKT (KE ⊥ AT).

Из равенства треугольников △DEA = △CET, следует, что AE = ET. Это значит, что KE является медианой треугольника △AKT (KE делит сторону AT пополам).

В треугольнике △AKT отрезок KE является одновременно и высотой, и медианой. Это возможно только в том случае, если треугольник △AKT является равнобедренным с основанием AT, то есть AK = KT.

Найдем длину отрезка KT:

KT = KC + CT = 1 + 6 = 7.

Так как AK = KT, то AK = 7.

Ответ: 7.