Точка H является основанием высоты BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 18.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. BH — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе AC. По условию, BH = 18.

Окружность с диаметром BH имеет центр в середине отрезка BH и проходит через точки B и H. Так как угол B — прямой, то угол BPH и угол BKH являются вписанными в окружность и опираются на диаметр BH. Следовательно, угол BPH = 90° и угол BKH = 90°.

Угол BPH = 90° означает, что PK перпендикулярно AB, а угол BKH = 90° означает, что PK перпендикулярно CB.

Рассмотрим четырёхугольник BPKH. В нём ∠BPK = 90° (так как лежит на окружности с диаметром BH) и ∠BHK = 90° (по определению высоты). Также ∠PKB = 90° (так как лежит на окружности с диаметром BH). Это означает, что BPKH — прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали BPKH — это BH и PK. Следовательно, PK = BH.

По условию, BH = 18.

Значит, PK = 18.

Ответ: 18.