Точка $$H$$ является основанием высоты $$BH$$, проведённой из вершины прямого угла $$B$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$. Окружность с диаметром $$BH$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CB$$ в точках $$P$$ и $$K$$ соответственно. Найдите $$BH$$, если $$PK = 11$$.

Решение:

1. Дано:
   Треугольник $$ABC$$ — прямоугольный, $$\angle B = 90^\circ$$.
   $$BH$$ — высота, $$H$$ на $$AC$$.
   Окружность с диаметром $$BH$$ проходит через $$P$$ на $$AB$$ и $$K$$ на $$CB$$.
   $$PK = 11$$.
2. Найти: $$BH$$.
3. Анализ:
   Так как $$BH$$ — диаметр окружности, то углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми. Следовательно, $$\angle BPH = 90^\circ$$ и $$\angle BKH = 90^\circ$$.
4. Рассмотрим треугольник $$PBH$$:
   $$\angle BPH = 90^\circ$$. $$P$$ лежит на $$AB$$, значит, $$BH$$ является высотой в прямоугольном треугольтке $$ABP$$.
   В прямоугольном треугольнике $$PBH$$, $$BP$$ — катет, $$BH$$ — гипотенуза.
5. Рассмотрим треугольник $$KBH$$:
   $$\angle BKH = 90^\circ$$. $$K$$ лежит на $$CB$$, значит, $$BH$$ является высотой в прямоугольном треугольтке $$CBH$$.
   В прямоугольном треугольнике $$KBH$$, $$BK$$ — катет, $$BH$$ — гипотенуза.
6. Рассмотрим четырёхугольник $$PBHK$$:
   $$\angle B = 90^\circ$$, $$\angle BPH = 90^\circ$$, $$\angle BKH = 90^\circ$$. Это означает, что $$PBHK$$ — прямоугольник.
7. Свойства прямоугольника:
   Противоположные стороны равны: $$PK = BH$$ и $$PB = KH$$.
8. Используем данное значение:
   По условию, $$PK = 11$$.
9. Вывод:
   Так как $$PK = BH$$ (свойство прямоугольника), то $$BH = 11$$.

Ответ: $$BH = 11$$.