9.18. Точка К – середина ребра DC куба АBCDA₁B₁C₁D₁. Найдите косинус угла между прямыми В₁С и С₁К.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями геометрии, а именно свойствами куба и теоремой косинусов.

1. Введем обозначения. Пусть длина ребра куба равна a. Так как K - середина DC, то DK = KC = a/2.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник DCC₁. В нем DС = CC₁ = a. По теореме Пифагора найдем DC₁:

$$DC_1 = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁DK. В нем DK = a/2, CC₁ = a. По теореме Пифагора найдем C₁K:

$$C_1K = \sqrt{C_1D^2 + DK^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{5a^2/4} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

4. Рассмотрим треугольник В₁CC₁. В нем В₁С₁ = CC₁ = a. По теореме Пифагора найдем B₁C:

$$B_1C = \sqrt{B_1C_1^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

5. Рассмотрим треугольник B₁CC₁ и C₁K.

6. Рассмотрим треугольник B₁CC₁ и C₁K. Используем теорему косинусов для нахождения косинуса угла между прямыми В₁С и С₁К. Пусть угол между этими прямыми равен α. Тогда:

$$B_1K^2 = B_1C^2 + C_1K^2 - 2 \cdot B_1C \cdot C_1K \cdot \cos{\alpha}$$

7. Выразим косинус угла α:

$$\cos{\alpha} = \frac{B_1C^2 + C_1K^2 - B_1K^2}{2 \cdot B_1C \cdot C_1K}$$

8. Найдем длину B₁K. Рассмотрим треугольник B₁BК. ВК = вс. BCDK = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$, B₁B = a.

$$B_1K = \sqrt{B_1B^2 + BK^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a\sqrt{5}}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$$

9. Подставим известные значения в формулу косинуса угла α:

$$\cos{\alpha} = \frac{(a\sqrt{2})^2 + (\frac{a\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{3a}{2})^2}{2 \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{2a^2 + \frac{5a^2}{4} - \frac{9a^2}{4}}{a^2\sqrt{10}} = \frac{\frac{8a^2 + 5a^2 - 9a^2}{4}}{a^2\sqrt{10}} = \frac{\frac{4a^2}{4}}{a^2\sqrt{10}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$\cos{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{10}}{10}$$