Точка К - середина боковой стороны трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника CDK равна половине площади трапеции.

Пошаговое решение:

1. Пусть дана трапеция ABCD, где BC и AD — основания, K — середина боковой стороны AB.
2. Проведем высоту BH к основанию AD и высоту KE к основанию AD.
3. Так как K — середина AB, то KE является средней линией трапеции ABHD. Следовательно, KE = (BC + AD) / 2.
4. Площадь трапеции ABCD равна: \[ S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH \]
5. Площадь треугольника CDK равна: \[ S_{CDK} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot KE \]
6. Выразим площадь треугольника CDK через площадь трапеции:
   Показать подробные вычисления

   1. Так как K - середина AB, то AK = KB.
   2. Проведём высоту KF к стороне CD.
   3. Рассмотрим треугольники AKF и KBF: \[ S_{CDK} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot KF \]
   4. Сравним высоту KF и высоту BH трапеции.
   5. Поскольку K - середина AB, то высота KF будет равна половине высоты BH трапеции: KF = BH / 2.
   6. Подставим KF в формулу площади треугольника CDK: \[ S_{CDK} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot \frac{BH}{2} = \frac{CD \cdot BH}{4} \]
   7. Выразим площадь трапеции через её основания и высоту: \[ S_{ABCD} = \frac{(BC + AD) \cdot BH}{2} \]
   8. Чтобы доказать, что площадь треугольника CDK равна половине площади трапеции, нужно показать, что: \[ S_{CDK} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \]
   9. Подставим выражения для площадей: \[ \frac{CD \cdot BH}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(BC + AD) \cdot BH}{2} \] Упростим: \[ \frac{CD \cdot BH}{4} = \frac{(BC + AD) \cdot BH}{4} \]
   10. Таким образом, CD = BC + AD
   11. Следовательно, площадь треугольника CDK равна половине площади трапеции ABCD.

Ответ: Площадь треугольника CDK равна половине площади трапеции ABCD.