Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM : MD = 2 : 5. а) Выразите вектор \(\overrightarrow{KM}\) через векторы \(\vec p = \overrightarrow{AB}\) и \(\vec q = \overrightarrow{AD}\). б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство \(\overrightarrow{KM} = x \cdot \overrightarrow{CB}\)?

а) Так как K — середина AB, то \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec p\).

Поскольку \(\overrightarrow{CD}=-\vec p\), а \(CM:MD=2:5\), точка M делит CD в отношении 2:5, считая от C. Поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac27\overrightarrow{CD}=-\frac27\vec p\).

Тогда \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=(\vec p+\vec q)-\frac27\vec p=\frac57\vec p+\vec q\).

Следовательно, \(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=(\frac57-\frac12)\vec p+\vec q=\frac3{14}\vec p+\vec q\).

б) В параллелограмме \(\overrightarrow{CB}=-\vec q\). Равенство из условия потребовало бы, чтобы \(\frac3{14}\vec p+\vec q=-x\vec q\), то есть \(\frac3{14}\vec p+(1+x)\vec q=\vec 0\). Векторы \(\vec p\) и \(\vec q\) неколлинеарны, поэтому их линейная комбинация равна нулю только при нулевых коэффициентах. Коэффициент при \(\vec p\) равен \(\frac3{14}\ne0\), значит равенство невозможно.

Ответ: а) \(\overrightarrow{KM}=\frac3{14}\vec p+\vec q\); б) такого значения x нет.