4 Точка К лежит внутри острого двугранного угла и удале на расстояние 4/3 см и 4 см от каждой грани. Найдите величину двугранного угла, если точка К удалена от реб ра этого угла на 8 см. 1) 60° 2) 75° 3) 80° 4) 90°

Решение:

Пусть точка К находится внутри двугранного угла с ребром AB. Опустим перпендикуляры KH и KL на грани двугранного угла. По условию, KH = $$4\sqrt{3}$$ см, KL = 4 см, расстояние от точки K до ребра AB равно 8 см. Пусть O - основание перпендикуляра, опущенного из точки K на ребро AB, тогда KO = 8 см.

Рассмотрим треугольник KHO. Он прямоугольный, так как KH перпендикулярна плоскости грани угла. Тогда $$\sin{\angle KHO} = \frac{KO}{KH}$$.

Аналогично, рассмотрим треугольник KLO. Он прямоугольный, так как KL перпендикулярна плоскости грани угла. Тогда $$\sin{\angle KLO} = \frac{KO}{KL}$$.

Но углы KHO и KLO - это углы, которые образуют перпендикуляры, опущенные из точки на грани двугранного угла. То есть $$\angle KHO = \alpha$$ и $$\angle KLO = \beta$$ - линейные углы, измеряющие двугранный угол.

Получаем:

$$\sin{\alpha} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

$$\sin{\beta} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, $$\alpha = 30^\circ$$ и $$\beta = 60^\circ$$.

Двугранный угол равен сумме этих углов: $$30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$$.

Ответ: 1) 60°