13.31. Точка М - середина ребра CD прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите угол между прямой $$A_1M$$ и плоскостью $$CDD_1$$, если $$AD = 5$$ см, $$DC = 6$$ см, $$DD_1 = 4$$ см.

Решение:

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны длины ребер: $$AD = 5$$ см, $$DC = 6$$ см, $$DD_1 = 4$$ см. Точка M - середина ребра CD, следовательно, $$DM = MC = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$ см.

2. Проведем перпендикуляр $$A_1K$$ на плоскость $$CDD_1$$. Так как $$A_1D_1$$ перпендикулярна $$CDD_1$$, то $$K$$ лежит на прямой $$D_1D$$. Тогда $$A_1K = A_1D_1 = AD = 5$$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1DM$$. Найдем $$A_1M$$ по теореме Пифагора: $$A_1M = \sqrt{A_1D_1^2 + D_1D^2 + DM^2}$$. $$A_1D_1 = 5$$ см, $$D_1D = 4$$ см, $$DM = 3$$ см. $$A_1M = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ см.

4. Пусть $$\alpha$$ - угол между прямой $$A_1M$$ и плоскостью $$CDD_1$$. Тогда $$\sin{\alpha} = \frac{A_1K}{A_1M}$$, где $$A_1K$$ - перпендикуляр из точки $$A_1$$ на плоскость $$CDD_1$$. $$\sin{\alpha} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Следовательно, $$\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^{\circ}$$.

Ответ: 45°