Точка M(2; 1) переходит в точку M1(5; 4) при гомотетии с коэффициентом равным 2 и центром в точке D. Введите значение абсциссы точки D.

Решение:

Пусть центр гомотетии имеет координаты \( D(x_D; y_D) \). Точка \( M(2; 1) \) переходит в точку \( M_1(5; 4) \) при гомотетии с коэффициентом \( k=2 \).

По определению гомотетии, вектор \( \vec{DM_1} \) равен \( k \) умноженному на вектор \( \vec{DM} \).

\( \vec{DM_1} = (5 - x_D; 4 - y_D) \)

\( \vec{DM} = (2 - x_D; 1 - y_D) \)

\( \vec{DM_1} = k \cdot \vec{DM} \)

\[ (5 - x_D; 4 - y_D) = 2 \cdot (2 - x_D; 1 - y_D) \]

Распишем по координатам:

1) \( 5 - x_D = 2(2 - x_D) \)

\( 5 - x_D = 4 - 2x_D \)

\( -x_D + 2x_D = 4 - 5 \)

\( x_D = -1 \)

2) \( 4 - y_D = 2(1 - y_D) \)

\( 4 - y_D = 2 - 2y_D \)

\( -y_D + 2y_D = 2 - 4 \)

\( y_D = -2 \)

Таким образом, центр гомотетии находится в точке \( D(-1; -2) \).

Требуется найти абсциссу точки \( D \).

Ответ: -1