Точка M делит диагональ параллелограмма в отношении BM : MD = 4 : 1. Вычислите коэффициенты k и n в разложении вектора \(\overrightarrow{BM}\) по данным векторам \(\vec a\) и \(\vec b\): \(\overrightarrow{BM}=k\vec a+n\vec b\).

В параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\). По рисунку \(\overrightarrow{BA}=\vec a\), а \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b\), поэтому \(\overrightarrow{BD}=\vec a+\vec b\).

Так как \(BM:MD=4:1\), отрезок \(BM\) составляет \(\frac{4}{5}\) диагонали. Следовательно, \(\overrightarrow{BM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BD}=\frac{4}{5}\vec a+\frac{4}{5}\vec b\).

Ответ: \(k=\frac{4}{5}\), \(n=\frac{4}{5}\).