1. Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью а в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие с в точках А₁ и М₁. а) Докажите, что А1, М₁ и В лежат на одной прямой. 6) Найдите длину отрезка АВ, если АА: ММ₁ = 3: 2, AM=6. 2. Дано: а|| ВС, AK = BK, K∈ a (рис. 6). Доказать: а AC = M; AM = CM. 3. Дан Д МКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М₁, РК – в точке К₁. Найдите МК1, если МР: М₁P=12: 5, МК = 18 см.

1. Задача.

а) Доказать, что А₁, М₁ и В лежат на одной прямой.

Доказательство:

Поскольку прямые AA₁ и MM₁ параллельны, то они лежат в одной плоскости, обозначим ее как β. Отрезок AB лежит в плоскости, которая пересекает плоскость α в точке В. Тогда A₁, M₁ и B лежат на линии пересечения плоскостей α и β, следовательно, они лежат на одной прямой.

б) Найти длину отрезка AB, если AA₁ : MM₁ = 3 : 2, AM = 6.

Пусть AA₁ = 3x, MM₁ = 2x.

Рассмотрим подобные треугольники: ΔBAA₁ ~ ΔBMM₁ (по двум углам, т.к. углы при вершине B общие, углы при AA₁ и MM₁ равны, т.к. AA₁ || MM₁).

Тогда:

$$\frac{BA}{BM} = \frac{AA_1}{MM_1} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$

Пусть BM = 2y, тогда BA = 3y.

AM = BA - BM = 3y - 2y = y.

AM = 6, значит y = 6.

Тогда BA = 3y = 3 × 6 = 18.

Ответ: AB = 18.

2. Задача.

Дано: α || BC, AK = BK, K ∈ α (рис. 6).

Доказать: α ∩ AC = M; AM = CM.

Доказательство:

Т.к. AK = BK, то K – середина отрезка AB.

Через параллельные прямые BC и плоскость α можно провести плоскость β. Эта плоскость пересечет плоскость Δ ABC по прямой KM. K ∈ α, BC || α, следовательно KM || BC.

В Δ ABC: KM || BC, AK = BK, следовательно KM – средняя линия Δ ABC.

Тогда AM = CM, значит M – середина AC. α ∩ AC = M.

Ответ: Доказано.

3. Задача.

Дан Δ MKP. Плоскость, параллельная прямой MK, пересекает MP в точке M₁, PK – в точке K₁.

Найти M₁K₁, если MP : M₁P = 12 : 5, MK = 18 см.

Решение:

Т.к. плоскость, параллельная MK, пересекает MP в точке M₁, PK – в точке K₁, то M₁K₁ || MK.

Тогда Δ PM₁K₁ ~ Δ PMK (по двум углам, т.к. угол P общий, ∠PM₁K₁ = ∠PMK, т.к. M₁K₁ || MK).

$$\frac{M_1K_1}{MK} = \frac{M_1P}{MP}$$

По условию: MP : M₁P = 12 : 5. Обозначим MP = 12x, M₁P = 5x. Тогда:

$$\frac{M_1P}{MP} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}$$

MK = 18 см, тогда:

$$\frac{M_1K_1}{18} = \frac{5}{12}$$

M₁K₁ = (5 × 18) / 12 = 7.5 см.

Ответ: M₁K₁ = 7.5 см.