Точка М лежит на ребре A₁B₁ куба АВСDА₁В₁С₁Д₁ с ребром а; В₁М: А₁М = 2:1. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости AB₁C₁

Ответ: \[\frac{5a^2\sqrt{3}}{36}\]

Разбираемся:

1. Поскольку плоскость сечения параллельна плоскости AB₁C₁, то сечение будет представлять собой треугольник, подобный треугольнику AB₁C₁.
2. Найдем коэффициент подобия. Так как B₁M : A₁M = 2 : 1, то A₁M = (1/3)A₁B₁. Следовательно, коэффициент подобия k = A₁M / A₁B₁ = 1/3.
3. Обозначим вершины сечения как M, N и L, где M лежит на A₁B₁, N лежит на A₁D₁, L лежит на B₁C₁. Сторона треугольника AB₁C₁ равна a√2, где a - длина ребра куба. Следовательно, стороны треугольника MNL равны (1/3)a√2.
4. Площадь треугольника AB₁C₁ равна (√3 / 4) * (a√2)² = (√3 / 4) * 2a² = (a²√3) / 2.
5. Площадь треугольника MNL равна (√3 / 4) * ((1/3)a√2)² = (√3 / 4) * (2a² / 9) = (a²√3) / 18.
6. Площадь сечения равна (a²√3) / 18.