Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD причём BM:MC=3:1. Выразите векторы AM и MD через векторы a = AD и b = AB.

Решение:

Векторы в параллелограмме ABCD связаны соотношениями:

• \( \vec{AD} = \vec{BC} \)
• \( \vec{AB} = \vec{DC} \)
• \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \)
• \( \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} \)

По условию, точка M лежит на стороне BC, и \( BM:MC=3:1 \). Это означает, что вектор \( \vec{BM} \) составляет \( \frac{3}{4} \) от вектора \( \vec{BC} \).

Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{a} \), то:

\( \vec{BM} = \frac{3}{4} \vec{BC} = \frac{3}{4} \vec{a} \)

Теперь выразим вектор \( \vec{AM} \). Используем правило сложения векторов:

\( \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} \)

Подставляем известные значения:

\( \vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a} \)

Далее выразим вектор \( \vec{MD} \). Для этого нам понадобится вектор \( \vec{CD} \) и \( \vec{MC} \).

\( \vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{b} \)

Также, \( \vec{MC} = \frac{1}{4} \vec{BC} = \frac{1}{4} \vec{a} \).

Теперь найдем \( \vec{MD} \) через \( \vec{MC} \) и \( \vec{CD} \):

\( \vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD} \)

Подставляем известные значения:

\( \vec{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} - \vec{b} \)

Альтернативный способ для \( \vec{MD} \):

\( \vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM} \)

\( \vec{MD} = \vec{a} - (\vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}) \)

\( \vec{MD} = \vec{a} - \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{a} \)

\( \vec{MD} = (1 - \frac{3}{4}) \vec{a} - \vec{b} \)

\( \vec{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} - \vec{b} \)

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: \( \vec{AM} = \frac{3}{4} \vec{a} + \vec{b} \), \( \vec{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} - \vec{b} \).