Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Высота BH равна 2√3, ∠A = 60°, HM = 1. Найдите площадь параллелограмма. Варианты: 1) 16; 2) 12√3; 3) 32; 4) 18√3; 5) 20.

Question

Вопрос:

Фото задания

Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD. Высота BH равна 2√3, ∠A = 60°, HM = 1. Найдите площадь параллелограмма. Варианты: 1) 16; 2) 12√3; 3) 32; 4) 18√3; 5) 20.

Accepted Answer

Обозначим через H основание высоты, опущенной из B на AD. Из прямоугольного треугольника ABH:

\(\sin 60^\circ = \dfrac{BH}{AB}\), поэтому \(AB = \dfrac{2\sqrt3}{\sqrt3/2}=4\).

Тогда \(AH=AB\cos60^\circ=2\). Поскольку M — середина AD, \(AM=MD=\dfrac{AD}{2}\).

По данным изображения возможны два расположения H относительно M: если H и M лежат по разные стороны от A, то \(HM=|AH-AM|=1\), откуда \(AM=1\) или \(3\). При \(AM=1\) получаем \(AD=2\), а площадь равна \(AD\cdot BH=4\sqrt3\); при \(AM=3\) получаем \(AD=6\), а площадь равна \(12\sqrt3\).

Из предложенных вариантов подходит только второй результат.

Ответ: 2) 12√3.