Точка M — середина стороны BC прямоугольника ABCD, MA ⟂ MD, периметр прямоугольника ABCD равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим AB = CD = x, а BC = AD = y. Так как M — середина BC, отрезки, соединяющие M с вершинами A и D, имеют горизонтальную составляющую длины x и вертикальные составляющие противоположных направлений длины y/2.

Условие MA ⟂ MD означает, что скалярное произведение соответствующих направлений равно нулю: x² − (y/2)² = 0. Поскольку стороны положительны, y = 2x.

Из периметра получаем 2(x + y) = 36, то есть x + y = 18. Подставим y = 2x: 3x = 18, откуда x = 6 см и y = 12 см.

Ответ: AB = CD = 6 см, BC = AD = 12 см.