Точка M — середина стороны BC прямоугольника ABCD, MA ⟂ MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим AB = CD = x, BC = AD = y. Расположим прямоугольник в координатах: A(0; 0), B(x; 0), C(x; y), D(0; y). Так как M — середина BC, M имеет координаты (x; y/2).

Условие MA ⟂ MD означает, что скалярное произведение векторов MA и MD равно нулю. Векторы MA = (−x; −y/2), MD = (−x; y/2), поэтому x² − y²/4 = 0. Отсюда y = 2x, поскольку длины сторон положительны.

Из периметра 2(x + y) = 36 получаем x + y = 18. Подставим y = 2x: 3x = 18, значит x = 6 см, а y = 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.