23. Точка Н является основанием высоты NH, проведённой из вершины прямого угла N прямоугольного треугольника MNK. Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках Е и F соответственно. Найди EF, если NH = 18.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK с прямым углом N. NH - высота, проведённая из вершины прямого угла N к гипотенузе MK. Окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках E и F соответственно. Нужно найти EF, если NH = 18.

1. Рассмотрим четырёхугольник NFHE. ∠NFH и ∠NEH опираются на диаметр NH, следовательно, ∠NFH = 90° и ∠NEH = 90°.

2. Так как NFHE - прямоугольник, то ∠ENF = 90°.

3. Рассмотрим треугольник MNK. ∠ENF = 90°, следовательно EF || MK, таким образом, треугольник ENF подобен треугольнику MNK.

4. В прямоугольном треугольнике NEH: ∠NEH = 90°, NH - гипотенуза, тогда ∠NEH = 90°.

5. Так как EF является средней линией треугольника MNK (поскольку NFHE прямоугольник и EF проходит через середины сторон NM и NK), то EF = 1/2 * MK.

6. В прямоугольном треугольнике MNK высота NH, проведённая к гипотенузе, является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу: NH² = MH * HK.

7. Так как окружность с диаметром NH пересекает стороны NK и NM в точках E и F, то EF - средняя линия треугольника MNK.

8. Следовательно, EF = 1/2 * MK.

9. В прямоугольном треугольнике MNK высота NH является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу: NH² = MH * HK.

10. Так как EF - средняя линия, то EF = 1/2 * MK.

11. Поскольку NH = 18, то EF = 1/2 * NH = 1/2 * 18 = 9.

Ответ: 9