Точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 5, AC = 20.

Составим чертёж:

      B
     / \
    /   \
   /     \
  /       \
 A---------C
 |         |
 H         

Дано: ΔABC, ∠B = 90°, BH⊥AC, AH = 5, AC = 20.
Найти: AB

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Следовательно, ΔABH подобен ΔABC.
2. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB}$$ Отсюда: $$AB^2 = AC \cdot AH$$
3. Подставим известные значения: $$AB^2 = 20 \cdot 5 = 100$$
4. Извлечём квадратный корень, чтобы найти AB: $$AB = \sqrt{100} = 10$$

Ответ: 10.