Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите СН, если АН = 11, BC = 30.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором BH – высота, проведенная к гипотенузе AC.

Применим свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, то есть $$BC^2 = AC \cdot HC$$.

Выразим AC как сумму AH и HC: $$AC = AH + HC$$.

Тогда $$BC^2 = (AH + HC) \cdot HC$$.

Подставим известные значения AH = 11 и BC = 30:

$$30^2 = (11 + HC) \cdot HC$$

$$900 = (11 + HC) \cdot HC$$

$$900 = 11HC + HC^2$$

$$HC^2 + 11HC - 900 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно HC. Дискриминант:

$$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 121 + 3600 = 3721$$

$$HC_1 = \frac{-11 + \sqrt{3721}}{2} = \frac{-11 + 61}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

$$HC_2 = \frac{-11 - \sqrt{3721}}{2} = \frac{-11 - 61}{2} = \frac{-72}{2} = -36$$

Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительное значение HC = 25.

Ответ: 25