Точка O — центр окружности, градусная мера меньшей из дуг AB равна 128°, ∠CDB=46° (см. рисунок). Найдите величину ∠DCA (в градусах).

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о вписанных углах и центральных углах окружности.

1. Найдем величину центрального угла ∠AOB. Так как градусная мера дуги AB равна 128°, то и центральный угол ∠AOB, опирающийся на эту дугу, равен 128°.

$$ \angle AOB = 128^\circ $$

2. Найдем величину вписанного угла ∠DCA. Угол ∠CDB опирается на дугу CB. Угол ∠DCA также опирается на дугу CB. Следовательно, ∠CDB = ∠CAB, но нам нужно найти ∠DCA, a не ∠CDB.

3. Найдем величину угла ∠DCA. Заметим, что угол ∠DCA - это вписанный угол, опирающийся на дугу DA. Угол ∠DBA тоже опирается на дугу DA, следовательно, ∠DCA = ∠DBA.

4. Найдем величину угла ∠ACB. Угол ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно:

$$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 128^\circ = 64^\circ $$

5. Найдем величину угла ∠DCA. Теперь рассмотрим треугольник ΔABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол ∠CDB равен 46°. Заметим, что ∠CDB = ∠CAB = 46° (т.к. опираются на одну дугу).

Тогда, в треугольнике ΔABC:

$$ \angle CAB + \angle ACB + \angle CBA = 180^\circ $$ $$ 46^\circ + 64^\circ + \angle CBA = 180^\circ $$ $$ 110^\circ + \angle CBA = 180^\circ $$ $$ \angle CBA = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $$

Поскольку ∠CBA = ∠CDB + ∠DBA, то 70° = 46° + ∠DBA, откуда ∠DBA = 70° - 46° = 24°.

Так как ∠DCA = ∠DBA, то ∠DCA = 24°.

Ответ: 24°