Точка O — середина диагонали BD четырёхугольника ABCD. Известно, что AB = AD = 30 см, CB = CD, OC = 10 см, ∠BAD = 120°. Найдите диагональ AC.

Так как AB = AD и CB = CD, точки A и C равноудалены от концов отрезка BD. Следовательно, прямая AC является серединным перпендикуляром к BD, поэтому AC перпендикулярна BD и проходит через точку O.

В равнобедренном треугольнике ABD высота AO одновременно является биссектрисой угла BAD. Поэтому \(\angle BAO=60^\circ\), а в прямоугольном треугольнике \(ABO\):

\[AO=AB\cos 60^\circ=30\cdot\frac12=15\text{ см}.\]

Поскольку \(AC=AO+OC\), получаем:

\[AC=15+10=25\text{ см}.\]

Ответ: 25 см.