Точка О — центр окружности, на которой лежат точки А, и С. Известно, что ∠ABC = 46° и ∠OAB = 28°. Найдите угол ВСА. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как О — центр окружности, то отрезки ОА, ОВ и ОС являются радиусами. Следовательно, треугольники ОАВ, ОВС и ОСА — равнобедренные.

1. В равнобедренном треугольнике ОАВ имеем ОА = ОВ. Угол при вершине В равен 46°, значит, углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 46°}{2} = \frac{134°}{2} = 67° \).
2. Нам дано, что \( \angle OAB = 28° \). Это противоречит предыдущему расчету, где \( \angle OAB = 67° \). Следовательно, угол \( \angle ABC \) не может быть углом при вершине B, а является вписанным углом, опирающимся на дугу АС.
3. Если \( \angle ABC = 46° \) — вписанный угол, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу АС, равен \( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 46° = 92° \).
4. В равнобедренном треугольнике ОАС (ОА = ОС) угол при вершине \( \angle AOC = 92° \). Углы при основании равны: \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 92°}{2} = \frac{88°}{2} = 44° \).
5. В равнобедренном треугольнике ОАВ (ОА = ОВ) нам дано \( \angle OAB = 28° \). Следовательно, \( \angle OBA = \angle OAB = 28° \).
6. Найдем \( \angle BOC \). \( \angle BOC = 180° - \angle AOC = 180° - 92° = 88° \) (как смежные).
7. В равнобедренном треугольнике ОВС (ОВ = ОС) \( \angle BOC = 88° \). Углы при основании равны: \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180° - 88°}{2} = \frac{92°}{2} = 46° \).
8. Угол \( \angle BCA \) состоит из суммы углов \( \angle OCA \) и \( \angle OCB \).
9. \( \angle BCA = \angle OCA + \angle OCB = 44° + 46° = 90° \).

Ответ: 90°.