16 Точка О - центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠ABC = 75° и ∠OAB = 43°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Определим градусную меру угла ∠AOB. Угол ∠AOB – центральный, опирается на дугу AB, а угол ∠ABC – вписанный и опирается на ту же дугу. По теореме вписанных и центральных углов, угол ∠AOB в два раза больше угла ∠ABC.

∠AOB = 2 ∙ ∠ABC = 2 ∙ 75° = 150°.

Рассмотрим треугольник ∆AOB. Он является равнобедренным, так как AO = BO = радиус окружности. ∠OAB = ∠OBA = 43°.

Найдем ∠AOB. Сумма углов треугольника равна 180°.

∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 43° - 43° = 94°.

Но мы выяснили ранее, что ∠AOB = 150°. Получили противоречие. Значит, точка О лежит вне треугольника ∆ABC. В этом случае ∠AOB = 360° - 150° = 210°.

Тогда ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 43° - 43° = 94°.

210° = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 94°. 2∠OAB = 180° - 210°

Что невозможно.

По условию задачи ∠ABC = 75°, ∠OAB = 43°.

Рассмотрим треугольник ∆AOB. Он является равнобедренным, так как AO = BO = радиус окружности. ∠OAB = ∠OBA = 43°.

Следовательно, ∠AOB = 180° - 43° - 43° = 94°.

Центральный угол ∠AOB = 94°. Вписанный угол, опирающийся на дугу AB, равен половине центрального угла. Значит, ∠ACB = 94° : 2 = 47°.

Рассмотрим треугольник ∆BOC. Он равнобедренный, так как BO = CO = радиус окружности. Значит, ∠OBC = ∠OCB. ∠BOC – центральный и опирается на дугу BC. ∠BOC = 2 ∙ ∠BAC. Но ∠BAC неизвестен.

∠AOB + ∠BOC + ∠COA = 360°.

По свойству вписанных углов ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC

75° = 43° + ∠OBC. Отсюда ∠OBC = 75° - 43° = 32°.

∆BOC – равнобедренный, следовательно, ∠OCB = ∠OBC = 32°.

Ответ: 32

Ответ: 32