Решение

По теореме о касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$PA^2 = PB \cdot PC$$

Подставим известные значения:

$$7^2 = PB \cdot 14$$

$$49 = PB \cdot 14$$

Выразим PB:

$$PB = \frac{49}{14} = \frac{7}{2} = 3.5$$

Тогда BC = PC - PB:

$$BC = 14 - 3.5 = 10.5$$

Так как PA - касательная, то ∠PAB = ∠BCA (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду).

Рассмотрим треугольники PAB и PCA. У них ∠P - общий, ∠PAB = ∠BCA.

Следовательно, треугольники PAB и PCA подобны по двум углам (∠P - общий, ∠PAB = ∠PCA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{PA}{PC} = \frac{AB}{AC} = \frac{PB}{PA}$$

Нам нужно найти AB, поэтому используем соотношение:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{PA}{PC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{AB}{10} = \frac{7}{14}$$

$$\frac{AB}{10} = \frac{1}{2}$$

Выразим AB:

$$AB = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$

Ответ: AB = 5