Точка P — середина стороны AB треугольника ABC. PM ∥ AC. Докажите, что отрезок PM — средняя линия треугольника ABC.

Предположим, что PM не является средней линией треугольника ABC. Так как P — середина AB и PM ∥ AC, при этом M лежит на BC, точка M должна быть серединой BC: если бы это было не так, середина O стороны BC дала бы другое доказательство параллельности.

Пусть O — середина BC. Тогда PO — средняя линия треугольника ABC, поэтому PO ∥ AC. Но также PM ∥ AC. Следовательно, через точку P проходят две прямые, PM и PO, параллельные прямой AC. По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит, PM и PO совпадают, откуда M = O. Это противоречит предположению, что PM не является средней линией.

Следовательно, PM является средней линией треугольника ABC.