Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании ВС трапеции ABCD лежит на другом ее основании. Найдите все стороны трапеции, если ее высота равна 36, а биссектрисы BL и CL равны соответственно 39 и 45. B 39 45 36 C A K L D AB = ; BC = ; CD = ; DA =

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKL. По теореме Пифагора:

$$ BL^2 = BK^2 + KL^2 $$ $$ 39^2 = 36^2 + KL^2 $$ $$ KL^2 = 1521 - 1296 = 225 $$ $$ KL = \sqrt{225} = 15 $$

Биссектриса BL отсекает от трапеции равнобедренный треугольник ABL, следовательно, AB = AL = AK + KL.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. По теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AK^2 + BK^2 $$ $$ AB^2 = AK^2 + 36^2 $$ $$ (AK + 15)^2 = AK^2 + 1296 $$ $$ AK^2 + 30 \cdot AK + 225 = AK^2 + 1296 $$ $$ 30 \cdot AK = 1071 $$ $$ AK = \frac{1071}{30} = 35.7 $$ $$ AB = 35.7 + 15 = 50.7 $$ $$ AL = 50.7 $$

Т.к. BL - биссектриса, то \(\angle ABL = \angle CBL\). А \(\angle ALB = \angle CBL\) как накрест лежащие углы. Значит \(\angle ABL = \angle ALB\). Тогда треугольник ABL - равнобедренный и \(AB = AL\)

Аналогично CL - биссектриса, значит \(\angle DCL = \angle BCL\). А \(\angle DLC = \angle BCL\) как накрест лежащие углы. Значит \(\angle DCL = \angle DLC\). Тогда треугольник DCL - равнобедренный и \(CD = DL\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник CLD. По теореме Пифагора:

$$ CL^2 = CK^2 + DL^2 $$ $$ 45^2 = 36^2 + LD^2 $$ $$ LD^2 = 2025 - 1296 = 729 $$ $$ LD = \sqrt{729} = 27 $$ $$ CD = 27 $$ $$ AD = AL + LD = 15 + 35.7 + 27 = 77.7 $$ $$ BC = KL + LD - AK -LD= 15 + 27 = 42 $$

Т.к. точка пересечения биссектрис тупых углов при основании BC трапеции ABCD лежит на другом её основании, то BC=KL+LD=15+27=42

Ответ: AB = 50.7; BC = 42; CD = 27; DA = 77.7.