Точка Р лежит вне окружности радиуса 12 с центром О. Через Р проведены касательная РК (К — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках М и N. Найдите длину касательной РК, если PM = 8 и MN = 10.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины касательной, проведенной из точки к окружности, равен произведению отрезков секущей от этой точки до точек пересечения с окружностью.

Формула теоремы:

• $$PK^2 = PM \cdot PN$$

Сначала найдем длину отрезка PN. Секантная прямая проходит через точки M и N, и нам известны длины отрезков PM и MN. Следовательно, PN можно найти как сумму этих отрезков:

• $$PN = PM + MN$$
• $$PN = 8 + 10$$
• $$PN = 18$$

Теперь подставим значения PM и PN в формулу теоремы о касательной и секущей:

• $$PK^2 = 8 \cdot 18$$
• $$PK^2 = 144$$

Чтобы найти длину касательной PK, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

• $$PK = \sqrt{144}$$
• $$PK = 12$$

Ответ: 12