Точка V — середина стороны PQ треугольника PQR, а точка O — центр описанной около него окружности. Отрезок RO в два раза длиннее отрезка OV. Величина угла PRO составляет 36°. Найдите величину угла QPR.

Question

Вопрос:

Точка V — середина стороны PQ треугольника PQR, а точка O — центр описанной около него окружности. Отрезок RO в два раза длиннее отрезка OV. Величина угла PRO составляет 36°. Найдите величину угла QPR.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Дан треугольник PQR.
V - середина стороны PQ.
O - центр описанной окружности.
RO = 2 * OV
Угол PRO = 36°.
Найти: Угол QPR.

Краткое пояснение: Мы будем использовать свойства равнобедренных треугольников и то, что центр описанной окружности равноудален от всех вершин.

Пошаговое решение:

1. Поскольку O - центр описанной окружности, то RO = QO = PO (радиусы окружности).
2. Дано RO = 2 * OV. Так как RO = PO, то PO = 2 * OV.
3. Рассмотрим треугольник RPO. RO = PO, значит, треугольник RPO - равнобедренный. Угол RPO = Угол PRO = 36°.
4. Рассмотрим треугольник QVO. VO = RO/2.
5. Угол QPO = Угол QRO.
6. Угол QOR = 180° - 2 * Угол OQR.
7. Угол POR = 180° - 2 * Угол PRO = 180° - 2 * 36° = 180° - 72° = 108°.
8. В треугольнике PQR: RO, QO, PO - радиусы.
9. Угол QPR = Угол QPO + Угол OPR.
10. Из условия PO = 2 * OV.
11. В равнобедренном треугольнике RPO: Угол RPO = Угол PRO = 36°.
12. Угол POR = 180° - (36° + 36°) = 180° - 72° = 108°.
13. Поскольку PO = RO, треугольник PRO равнобедренный.
14. Рассмотрим треугольник PQO. PO = QO (радиусы).
15. Угол POQ + Угол QOR + Угол ROP = 360° (если O - центр, лежащий внутри треугольника).
16. Из условия PO = 2 * OV.
17. В равнобедренном треугольнике RPO, проведем высоту OM к PQ. V - середина PQ.
18. Треугольник RPO равнобедренный, Угол RPO = 36°.
19. Рассмотрим треугольник POV. PO = 2 * OV.
20. В прямоугольном треугольнике POV (если OV перпендикулярно PQ), sin(Угол VPO) = OV / PO = OV / (2 * OV) = 1/2.
21. Значит, Угол VPO (т.е. Угол QPO) = 30°.
22. Тогда Угол QPR = Угол QPO + Угол OPR = 30° + 36° = 66°.
23. Проверим: Если Угол QPO = 30°, то в равнобедренном треугольнике PQO (PO = QO), Угол PQO = 30°. Угол POQ = 180° - (30° + 30°) = 120°.
24. Угол ROP = 108°, Угол POQ = 120°.
25. Угол QOR = 360° - 108° - 120° = 132°.
26. В равнобедренном треугольнике QOR (QO = RO), Угол OQR = Угол ORQ = (180° - 132°)/2 = 48°/2 = 24°.
27. Угол PQR = Угол PQO + Угол OQR = 30° + 24° = 54°.
28. Угол PRQ = Угол PRO + Угол ORQ = 36° + 24° = 60°.
29. Сумма углов в треугольнике PQR: 66° + 54° + 60° = 180°. Все сходится.

Ответ: 66°