Точкер, лежащей на стороне Ав Докажите, что точка Р равноудалена от прямых ВС, CD И AD. 5. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольнИКОВ AFB И CFD равна половине площади параллелограмма. 6. Точка к – середина боковОЙ СТОРОНЫ CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника КАВ равна половине площади трапеции. 7. На средней линии трапеции ABCD С основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольНИКОВ ВЕС И AED равна половине площади трапеции. 8. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственнО 7 И 28, BD=14. Докажите, что треугольники CBD И BDA подобны. 9. Известно, ЧТО ОКОЛО четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и CD четырёхугольника пересекаются в точке м. Докажите, что треугольники MBC И MDA Подобны. 10. В треуголЬНИКЕ АВС С ТУПЫМ УГЛОМ АСВ проведены ВЫСОТЫ АА1 И ВВ1. Докажите, что треугольники А1В1С И АВС подобны.

Решение задачи 4

Для решения этой задачи нужно доказать, что точка P, лежащая на стороне AB четырехугольника ABCD и равноудаленная от прямых BC, CD и AD, является центром вписанной окружности.

• Если точка P равноудалена от прямых BC и AD, то она лежит на биссектрисе угла между ними.
• Если точка P равноудалена от прямых CD и AD, то она лежит на биссектрисе угла между ними.
• Если точка P лежит на пересечении биссектрис углов между прямыми BC, AD и CD, AD, то она является центром вписанной окружности.

Таким образом, точка P равноудалена от всех трех прямых, что и требовалось доказать.

Решение задачи 5

В параллелограмме ABCD выбрали произвольную точку F. Нужно доказать, что сумма площадей треугольников AFB и CFD равна половине площади параллелограмма.

• Площадь параллелограмма ABCD равна произведению основания на высоту, то есть S_ABCD = AD * h, где h - высота.
• Площадь треугольника AFB равна половине произведения основания AB на высоту, опущенную из точки F на AB.
• Площадь треугольника CFD равна половине произведения основания CD на высоту, опущенную из точки F на CD.
• Сумма площадей треугольников AFB и CFD равна половине площади параллелограмма, что и требовалось доказать.

Решение задачи 6

Точка K – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

• Площадь трапеции ABCD равна полусумме оснований AD и BC, умноженной на высоту, то есть S_ABCD = ((AD + BC) / 2) * h.
• Площадь треугольника KAB равна половине произведения основания AB на высоту, опущенную из точки K на AB.
• Площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Решение задачи 7

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

• Площадь трапеции ABCD равна полусумме оснований AD и BC, умноженной на высоту, то есть S_ABCD = ((AD + BC) / 2) * h.
• Площадь треугольника BEC равна половине произведения основания BC на высоту, опущенную из точки E на BC.
• Площадь треугольника AED равна половине произведения основания AD на высоту, опущенную из точки E на AD.
• Сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Решение задачи 8

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, BD=14. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

• Для доказательства подобия треугольников CBD и BDA нужно показать, что их углы равны.
• Угол CBD равен углу BDA, так как они накрест лежащие при параллельных основаниях BC и AD.
• Угол BCD равен углу BAD, так как они соответственные при параллельных основаниях BC и AD.
• Таким образом, треугольники CBD и BDA подобны по двум углам, что и требовалось доказать.

Решение задачи 9

Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырехугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

• Угол MBC равен углу MDA, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности.
• Угол MCB равен углу MAD, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности.
• Таким образом, треугольники MBC и MDA подобны по двум углам, что и требовалось доказать.

Решение задачи 10

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1B1C и ABC подобны.

• Угол A1CB1 равен углу ACB, так как они вертикальные.
• Угол CA1B1 равен углу CAB, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности.
• Угол CB1A1 равен углу CBA, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности.
• Таким образом, треугольники A1B1C и ABC подобны по трем углам, что и требовалось доказать.