Точки A, B, C и D лежат на одной прямой. Точка E такова, что треугольники AEB и CED — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно. Докажите, что отрезки AB и CD имеют общую середину.

Пусть прямая, на которой лежат точки A, B, C и D, пересекает перпендикуляр, проведённый из точки E к этой прямой, в точке O.

1. Так как треугольник AEB равнобедренный с основанием AB, то EA = EB.
2. В прямоугольных треугольниках EOA и EOB гипотенузы равны: EA = EB, катет EO общий. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.
3. Отсюда OA = OB. Значит, O — середина отрезка AB.
4. Так как треугольник CED равнобедренный с основанием CD, то EC = ED.
5. В прямоугольных треугольниках EOC и EOD гипотенузы равны: EC = ED, катет EO общий. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.
6. Отсюда OC = OD. Значит, O — середина отрезка CD.

Таким образом, одна и та же точка O является серединой обоих отрезков AB и CD.

Ответ: отрезки AB и CD имеют общую середину.