Точки A и B лежат в плоскости α, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.

Обозначим через M и N середины отрезков AC и BC соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух его сторон. Поэтому по теореме о средней линии треугольника \(MN \parallel AB\).
2. Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\), так как точки A и B принадлежат этой плоскости.
3. Точка M не принадлежит плоскости \(\alpha\). Действительно, если бы \(M \in \alpha\), то вместе с \(A \in \alpha\) в плоскости \(\alpha\) лежала бы прямая AM. Тогда и точка C, лежащая на этой прямой, принадлежала бы плоскости \(\alpha\), что противоречит условию.
4. Прямая MN параллельна прямой AB, лежащей в плоскости \(\alpha\), и не пересекает эту плоскость, поскольку проходит через точку M, не принадлежащую \(\alpha\).

Ответ: \(MN \parallel \alpha\).