Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны. a) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°. Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на от-

Решение:

Дано:

• Прямая a.


• Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a.


• AB ⊥ a, CD ⊥ a.


• AB = CD.

а) Доказательство равенства углов ∠ABD и ∠CDB:

1. Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCDB.


2. У нас есть:




• AB = CD (по условию).


• BD - общая сторона для обоих треугольников.


• Углы ∠ABD и ∠CDB являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD (так как обе перпендикулярны прямой a) и секущей BD.




3. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними (или по гипотенузе и катету, если рассматривать прямоугольные треугольники, что следует из перпендикулярности), треугольники ΔABD и ΔCDB равны.


4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABD = ∠CDB.

б) Нахождение угла ∠ABC:

1. Из равенства треугольников ΔABD и ΔCDB следует, что AD = CB.


2. По условию, AB = CD.


3. Рассмотрим треугольник ΔADB. По условию, ∠ADB = 44°.


4. В треугольнике ΔADB, сумма углов равна 180°. Пусть ∠BAD = α и ∠ABD = β. Тогда α + β + 44° = 180°.


5. В прямоугольном треугольнике ΔABC (так как AB перпендикулярно a, и если D лежит на a, то AB перпендикулярно BD, и если C лежит на a, то CD перпендикулярно BD. Если A и C по одну сторону от a, то AB || CD.


6. В задачах такого типа часто подразумевается, что A и C лежат на прямой a, или что AB и CD — высоты, опущенные на прямую a. Исходя из условия, что AB и CD — перпендикуляры к прямой a, AB || CD.


7. Рассмотрим трапецию ABCD с прямыми углами при основании a.


8. В прямоугольном треугольнике ΔADB (если ∠ABD = 90°), но это не следует из условия.


9. Вернемся к равенству треугольников ΔABD и ΔCDB. Мы доказали, что ∠ABD = ∠CDB.


10. В условии дано ∠ADB = 44°.


11. В прямоугольном треугольнике ΔABD (если ∠BAD = 90°), но это не так.


12. Если AB и CD перпендикуляры к прямой a, то AB || CD.


13. Рассмотрим треугольник ΔABC. Мы знаем, что AB = CD и AD = CB.


14. Если ∠ADB = 44°, то в треугольнике ΔCDB, ∠CDB + ∠CBD + ∠BCD = 180°.


15. Из равенства ΔABD и ΔCDB, мы знаем ∠ABD = ∠CDB.


16. Давайте предположим, что D лежит на прямой a.


17. В таком случае, ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.


18. Мы знаем ∠ADB = 44°.


19. Рассмотрим треугольник ΔADC.


20. Если AB || CD, то ABCD — трапеция.


21. Если AB = CD, то это равнобедренная трапеция.


22. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.


23. В условии сказано, что медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D. Это означает, что D — середина стороны BC.


24. Если AD — медиана, то BD = DC.


25. Но у нас дано AB = CD.


26. Если BD = DC и AB = CD, то AB = BD.


27. В треугольнике ΔABD, если AB = BD, то он равнобедренный.


28. Углы при основании равны: ∠BAD = ∠ADB = 44°.


29. Тогда ∠ABD = 180° - (44° + 44°) = 180° - 88° = 92°.


30. Из части (а) мы знаем, что ∠ABD = ∠CDB.


31. Значит, ∠CDB = 92°.


32. Теперь рассмотрим треугольник ΔABC.


33. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.


34. Мы нашли ∠ABD = 92°.


35. В треугольнике ΔCDB, ∠CDB = 92°.


36. Мы знаем, что AD - медиана, значит BD = DC.


37. Также AB = CD.


38. Рассмотрим ΔABC. AB и BC - стороны. AC - основание.


39. Если AD - медиана, то D - середина BC.


40. В условии сказано: «Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D».


41. Это означает, что D является серединой стороны BC.


42. В условии части (б) нам дано ∠ADB = 44°.


43. Давайте пересмотрим условие