Точки А и В лежат, а точка С не лежит в плоскости а. Точки Ми N - середины отрезков АВ и ВС, MN \perp α, AB = 8, BN = 5. Найдите расстояние от точки С до плоскости α.

Ответ: 5

1. Так как M и N - середины отрезков AB и BC, то MN - средняя линия треугольника ABC. Тогда AC = 2MN.
2. По условию MN \perp α, следовательно, AMNC - прямоугольник. Значит, CN = AM.
3. Так как M - середина AB, то AM = AB/2 = 8/2 = 4.
4. По теореме Пифагора, AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}
5. MN = AC / 2 = 2\sqrt{41} / 2 = \sqrt{41}.
6. Треугольник MBN прямоугольный, так как MN \perp α. MN = \sqrt{MB^2 + BN^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}.
7. По условию задачи MN \perp α, значит, MN - перпендикуляр, опущенный из точки N на плоскость α.
8. Искомое расстояние от точки C до плоскости α равно CN.
9. Треугольник CNB прямоугольный, и по теореме Пифагора CN = \sqrt{BC^2 - BN^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.
10. AM = 4.
11. CN = AM = 5.

Ответ: 5