5. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой. Из этих точек к данной прямой проведены перпендикуляры АМ и BN так, что АМ = BN и <NAM = 2MBN. Докажите, что ∠ANM = ∠BMN.

Для решения этой задачи нам понадобится геометрия и немного логики. Доказательство: 1. Проведем прямую $$AB$$. 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AMN$$ и $$\triangle BNM$$. Из условия задачи нам дано, что $$AM = BN$$. 3. Рассмотрим углы $$\angle NAM$$ и $$\angle MBN$$. По условию $$\angle NAM = \angle MBN$$. 4. Введем обозначения: $$\angle NAM = \angle MBN = \alpha$$. 5. Рассмотрим трапецию $$AMNB$$. Поскольку $$AM \parallel BN$$ (так как оба перпендикулярны одной и той же прямой), $$AMNB$$ - трапеция. 6. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AMN$$ и $$\triangle BNM$$. В них: * $$AM = BN$$ (по условию), * $$MN$$ - общая сторона. 7. Тогда, по теореме Пифагора, $$AN = \sqrt{AM^2 + MN^2}$$ и $$BM = \sqrt{BN^2 + MN^2}$$. Так как $$AM = BN$$, то $$AN = BM$$. 8. Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ANM$$ и $$\triangle BNM$$. У них: * $$AM = BN$$ (по условию), * $$AN = BM$$ (доказано выше), * $$MN$$ - общая сторона. 9. Следовательно, $$\triangle ANM = \triangle BNM$$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 10. Из равенства треугольников следует, что $$\angle ANM = \angle BMN$$. Что и требовалось доказать.