Точки А, В, С, К лежат на прямой так, что АС = 28 см, АК = 12 см, ВС = 10 см. Какой может быть длина отрезка ВК? В ответе укажите наибольшее из всех возможных значений.

Question

Вопрос:

Точки А, В, С, К лежат на прямой так, что АС = 28 см, АК = 12 см, ВС = 10 см. Какой может быть длина отрезка ВК? В ответе укажите наибольшее из всех возможных значений.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Точки А, В, С, К лежат на одной прямой. Известны длины отрезков АС, АК, ВС. Нужно найти наибольшую возможную длину отрезка ВК.

Рассмотрим возможные расположения точек на прямой. Отрезок АС = 28 см.

Случай 1: Точка К лежит между А и С.

AK = 12 см, AC = 28 см. Тогда KC = AC - AK = 28 - 12 = 16 см.

BC = 10 см.

Если В лежит между А и К: AB = AK - BK = 12 - BK. AC = AB + BC = (12 - BK) + 10 = 22 - BK = 28. BK = 22 - 28 = -6 (невозможно).
Если К лежит между В и С: BK = BC - KC = 10 - 16 = -6 (невозможно).
Если С лежит между В и К: BK = BC + CK = 10 + 16 = 26 см.
Если В лежит между А и С, и К лежит между А и С: AC = AB + BC = 28. AK = AB + BK = 12. BC = 10. BK = AC - AB - BC. AB = 28 - 10 = 18. BK = 12 - 18 = -6 (невозможно).
Если А лежит между В и К: BK = AK - AB = 12 - AB. AC = BC - AB = 28. BC = 10. AB = 10 - 28 = -18 (невозможно).
Если К лежит между А и В: AV = AK + KB = 12 + KB. AC = AV + VC = 28. BC = 10. BK = 12 - AB. AB = AK - BK = 12 - BK. AC = AB + BC = (12 - BK) + 10 = 22 - BK = 28. BK = -6 (невозможно).

Рассмотрим возможные варианты расположения точек:

1. А - К - С: AK = 12, KC = 28 - 12 = 16. BC = 10.

К - С - В: BK = BC + CK = 10 + 16 = 26 см.
К - В - С: BC = BK + KC => 10 = BK + 16 => BK = -6 (невозможно).
В - К - С: BC = BK + KC => 10 = BK + 16 => BK = -6 (невозможно).

2. К - А - С: KA = 12, AC = 28 => KC = 12 + 28 = 40. BC = 10.

К - А - В - С: AC = AB + BC => 28 = AB + 10 => AB = 18. BK = BA + AK = 18 + 12 = 30 см.
К - В - А - С: AC = AB + BC => 28 = AB + 10 => AB = 18. BK = AK - AB = 12 - 18 = -6 (невозможно).
В - К - А - С: KC = KA + AC = 12 + 28 = 40. BC = BK + KC => 10 = BK + 40 => BK = -30 (невозможно).

3. А - С - К: AC = 28, AK = 12 => CK = AK - AC = 12 - 28 = -16 (невозможно, так как К должна быть дальше от А, чем С, если А-С-К). Правильно: AK = AC + CK => 12 = 28 + CK => CK = -16 (невозможно). Это значит, что если порядок А-С, то К не может быть дальше от А. Точка К может быть между А и С, или А между К и С, или К между А и С. AK = 12, AC = 28. Если К между А и С, то AK < AC, что верно. Если А между К и С, то KC = KA + AC = 12 + 28 = 40. BC = 10.

К - А - С: KC = 40. BC = 10.

К - В - А - С: AC = AB + BC => 28 = AB + 10 => AB = 18. BK = AK - AB = 12 - 18 = -6 (невозможно).
К - А - В - С: AC = AB + BC => 28 = AB + 10 => AB = 18. BK = BA + AK = 18 + 12 = 30 см.

А - С - К: AC = 28. AK = 12. Это не соответствует порядку А-С-К.
А - К - С: AK = 12. AC = 28. KC = 16. BC = 10.

К - С - В: BK = BC + CK = 10 + 16 = 26 см.
К - В - С: BC = BK + KC => 10 = BK + 16 => BK = -6 (невозможно).
В - К - С: BC = BK + KC => 10 = BK + 16 => BK = -6 (невозможно).

4. А - В - С: AB + BC = AC => AB + 10 = 28 => AB = 18. AK = 12.

К - А - В - С: BK = AK + AB = 12 + 18 = 30 см.
А - К - В - С: AB = AK + KB => 18 = 12 + KB => KB = 6 см.

5. В - А - С: BA + AC = BC. BA + 28 = 10 => BA = -18 (невозможно). Значит, точка В не может быть перед А, если АС = 28 и ВС = 10.

6. А - С - В: AC + CV = AB. 28 + CV = AB. BC = 10. Значит, точка В находится между А и С. Этот случай уже рассмотрен.

7. К - А - С: AK = 12, AC = 28, BC = 10. KC = KA + AC = 12 + 28 = 40.

К - А - В - С: AC = AB + BC => 28 = AB + 10 => AB = 18. BK = AK + AB = 12 + 18 = 30 см.

8. К - С - А: KC = KS + SA = 12 + 28 = 40. BC = 10. Это противоречие, так как АК=12, АС=28, значит А ближе к К, чем С. Порядок К-С-А невозможен.

9. С - А - К: SA + AK = SK => 28 + 12 = 40. BC = 10. AC = 28.

С - В - А - К: AK = AV + VK = 12. AC = AV + VC = 28. BC = 10. AV = 28 - 10 = 18. AK = 18 + VK = 12 => VK = -6 (невозможно).
С - А - В - К: AK = AB + BK = 12. AC = AB + BC = 28. BC = 10. AB = 28 - 10 = 18. 18 + BK = 12 => BK = -6 (невозможно).
С - А - К - В: AC = AK + KC = 28. AK = 12. KC = 16. BC = 10. AB = 18. BK = AK - AB = 12 - 18 = -6 (невозможно).

10. С - К - А: CK + KA = CA => CK + 12 = 28 => CK = 16. BC = 10.

С - В - К - А: CA = CV + VK + KA => 28 = CV + VK + 12. BC = CV + CK => 10 = CV + 16 => CV = -6 (невозможно).
С - К - В - А: CA = CK + KV + VA => 28 = 16 + KV + VA. BC = BK + KC => 10 = BK + 16 => BK = -6 (невозможно).
В - С - К - А: BC = BS + SC = 10. CA = CK + KA = 28. BC = BA + AC => 10 = BA + 28 => BA = -18 (невозможно).
С - К - А - В: CA = 28, AK = 12 => CK = 16. BC = 10. AC = 28. CB = CK + KB = 10. 16 + KB = 10 => KB = -6 (невозможно).

Возможные значения ВК:

AC = 28, AK = 12, BC = 10.

Сценарии расположения точек:

1. К - А - С: AK = 12, AC = 28. BC = 10.

К - А - В - С: AB = AC - BC = 28 - 10 = 18. BK = AK + AB = 12 + 18 = 30.
К - В - А - С: AB = AC - BC = 18. BK = AK - AB = 12 - 18 = -6 (невозможно).

2. А - К - С: AK = 12, AC = 28. BC = 10.

А - К - В - С: AB = AK + KB = 12 + KB. AC = AB + BC = 12 + KB + 10 = 22 + KB = 28. KB = 6.
А - В - К - С: AB = AK - BK = 12 - BK. AC = AB + BC = 12 - BK + 10 = 22 - BK = 28. BK = -6 (невозможно).
В - А - К - С: AB = AK - BK. AC = AB + BC => 28 = AB + 10 => AB = 18. 18 = 12 - BK => BK = -6 (невозможно).
А - К - С - В: AK = 12, KC = 16, CB = 10. BK = BC + CK = 10 + 16 = 26.

3. А - С - К: AC = 28, AK = 12. Это противоречит порядку А-С-К, так как AK < AC. Значит, К находится между А и С, или А между К и С. Рассмотрим К-А-С.

4. К - С - А: KC = KS + SA = 12 + 28 = 40. BC = 10. Это противоречит тому, что АК=12, а АС=28. Значит, К не может быть дальше А, чем С.

Рассмотрим все возможные порядки и вычисления ВК:

К-А-С: AK=12, AC=28, BC=10. KC=40. AB = AC - BC = 18. BK = AK + AB = 12 + 18 = 30.
А-К-С: AK=12, AC=28, BC=10. KC=16. AB = AC - BC = 18. KB = AB - AK = 18 - 12 = 6. Или BK = BC + CK = 10 + 16 = 26.
А-С-К: AC=28, AK=12. Порядок А-С-К невозможен, так как AK < AC.
К-С-А: KC=KS+SA. AK=12, AC=28. Если К-С-А, то KC = KA+AS. Это не подходит.
С-А-К: SA=28, AK=12. KC = SA+AK = 40. BC=10. AB = AC-BC (не подходит). AB = SA-SB. AC=28. AB + BC = AC => AB+10=28 => AB=18. BK = AB+AK = 18+12=30.
С-К-А: SK+KA=SA. AK=12, AC=28. CK+12=28 => CK=16. BC=10.

С-В-К-А: BC=10, BK=? CK=16. BC = BK+KC. 10=BK+16. BK=-6 (невозможно).
С-К-В-А: BK=? SC=10+CB. BC=10. CA=28. CK=16. BK = BC - SC = 10 - SC. SC = SK-KC. SK = SA-AK. SK = 28-12=16. SC = 16-16=0 (точки С и К совпадают). Это не подходит.

Перечислим возможные значения BK:

1. K - A - B - C: AK = 12, AB = x, BC = 10. AC = AB + BC = x + 10 = 28 => x = 18. BK = AK + AB = 12 + 18 = 30.

2. K - B - A - C: KB = x, BA = y, AC = 28, BC = 10. BA + AC = BC => y + 28 = 10 (невозможно).

3. A - K - B - C: AK = 12, KB = x, BC = 10. AC = AK + KB + BC = 12 + x + 10 = 22 + x = 28 => x = 6.

4. A - B - K - C: AB = x, BK = y, KC = z. AK = 12, AC = 28, BC = 10. AB + BK = AK => x + y = 12. AB + BC = AC => x + 10 = 28 => x = 18. 18 + y = 12 => y = -6 (невозможно).

5. A - B - C - K: AB = x, BC = 10, CK = y. AC = 28 => x + 10 = 28 => x = 18. AK = AB + BC + CK = 18 + 10 + y = 28 + y = 12 => y = -16 (невозможно).

6. B - A - K - C: BA = x, AK = 12, KC = y. AC = 28. BC = 10. BA + AK = BK. BA + AC = BC => x + 28 = 10 => x = -18 (невозможно).

7. B - K - A - C: BK = x, KA = 12, AC = 28. BC = 10. BK + KA = BA. BA + AC = BC => BA + 28 = 10 => BA = -18 (невозможно).

8. K - C - A: KC = KS+SA. AK = 12, AC = 28. Это значит, К дальше от А, чем С. KC = AK - AC = 12 - 28 = -16 (невозможно).

9. K - A - C: AK = 12, AC = 28. BC = 10. KC = AC - AK = 16. BK = AK + AB. AB = AC - BC = 28 - 10 = 18. BK = 12 + 18 = 30.

10. A - C - K: AC = 28. AK = 12. Невозможно, если А-С-К, то AK > AC.

11. A - K - C: AK = 12, AC = 28. BC = 10. KC = 16. BK = AC - AB = 28 - AB. AB = AK - BK = 12 - BK. BK = 28 - (12 - BK) = 16 + BK => 0 = 16 (невозможно). BK = BC + CK = 10 + 16 = 26.

12. C - A - K: CA = 28, AK = 12. BC = 10. CK = CA + AK = 40. BK = BC - CK = 10 - 40 = -30 (невозможно). BK = BA + AK = BA + 12. AB = AC - BC = 28 - 10 = 18. BK = 18 + 12 = 30.

Наибольшее возможное значение ВК = 30 см.

Ответ: 30 см.