Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC, а точки M и N лежат на стороне AC, причём AM = MN = NC, \(\overrightarrow{CN}=\vec a\), \(\overrightarrow{CE}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{MB}\), \(\overrightarrow{MD}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите с помощью векторов, что \(MB \parallel NE\).

Question

Вопрос:

Фото задания: Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC, а точки M и N лежат на стороне AC, причём AM = MN = NC,…

Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC, а точки M и N лежат на стороне AC, причём AM = MN = NC, \(\overrightarrow{CN}=\vec a\), \(\overrightarrow{CE}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{MB}\), \(\overrightarrow{MD}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите с помощью векторов, что \(MB \parallel NE\).

Accepted Answer

Поскольку \(AM=MN=NC\), отрезок \(AC\) состоит из трёх равных частей. Поэтому \(\overrightarrow{CA}=3\vec a\), а \(\overrightarrow{CM}=2\vec a\).

Так как E — середина BC и \(\overrightarrow{CE}=\vec b\), имеем \(\overrightarrow{CB}=2\vec b\).

D — середина AB, значит, \(\overrightarrow{CD}=\dfrac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\dfrac{3\vec a+2\vec b}{2}=\dfrac{3}{2}\vec a+\vec b\).
\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=-2\vec a+2\vec b=2(\vec b-\vec a)\).
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}=-2\vec a+\dfrac{3}{2}\vec a+\vec b=\vec b-\dfrac{1}{2}\vec a\).
Поскольку \(\overrightarrow{CN}=\vec a\) и \(\overrightarrow{CE}=\vec b\), то \(\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CE}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a\). Следовательно, \(\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{NE}\), поэтому векторы коллинеарны и \(MB\parallel NE\).

Ответ: \(\overrightarrow{CD}=\dfrac{3}{2}\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{MB}=2\vec b-2\vec a\), \(\overrightarrow{MD}=\vec b-\dfrac{1}{2}\vec a\); \(MB\parallel NE\).