Точки E, M и K — середины ребер AD, B₁C₁, DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Как расположены прямые AM и EK? а) параллельны; б) скрещиваются; в) пересекаются при продолжении; г) нельзя определить.

Question

Вопрос:

Фото задания

Точки E, M и K — середины ребер AD, B₁C₁, DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Как расположены прямые AM и EK? а) параллельны; б) скрещиваются; в) пересекаются при продолжении; г) нельзя определить.

Accepted Answer

Зададим координаты вершин куба: \(A(0,0,0)\), \(D(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\).

Так как точки являются серединами рёбер, получаем:

\(E\left(\frac{1}{2},0,0\right)\);
\(M\left(\frac{1}{2},1,1\right)\);
\(K\left(1,0,\frac{1}{2}\right)\).

Направляющий вектор прямой \(AM\): \(\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2},1,1\right)\).

Направляющий вектор прямой \(EK\): \(\overrightarrow{EK}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)\).

Эти векторы не пропорциональны, поэтому прямые не параллельны. Проверим пересечение. У прямой \(AM\) координата \(y y=t\), а у прямой \(EK\) координата \(y=0\). Значит, при пересечении должно быть \(t=0\), то есть точка пересечения могла бы быть только \(A\). Но точка \(A\) не принадлежит прямой \(EK\), так как \(A\ne E\).

Следовательно, прямые не пересекаются и не параллельны, то есть являются скрещивающимися.

Ответ: б) скрещиваются.