Точки К и М – середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD, изобра- женного на рисунке. Отрезки КМ и BD пересекаются в точке О. Дока- жите, что КО – средняя линия тре- угольника ABD.

Решение:

Давай разберем эту задачу вместе. Нам нужно доказать, что отрезок KO является средней линией треугольника ABD.

1. Определим, что такое средняя линия треугольника:

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

2. Рассмотрим параллелограмм ABCD:

- K и M — середины сторон AD и BC соответственно.

- Значит, AK = KD и BM = MC.

3. Свойство параллелограмма:

- BC = AD (противоположные стороны параллелограмма равны).

- Так как K и M — середины сторон, то AK = \(\frac{1}{2}\)AD и BM = \(\frac{1}{2}\)BC.

- Следовательно, AK = BM.

4. Рассмотрим четырехугольник ABMK:

- AB || KM (так как AD || BC и K, M — середины сторон).

- AK = BM (как доказано выше).

- Следовательно, ABMK — параллелограмм (по признакам параллелограмма).

5. Точка O — точка пересечения KM и BD:

- Рассмотрим треугольник ABD. Так как KM — отрезок, соединяющий середины сторон AD и BC, а точка O лежит на KM, то можно сказать, что точка O делит отрезок BD в некотором отношении.

6. Докажем, что KO — средняя линия треугольника ABD:

- Пусть точка L — середина стороны AB. Тогда, чтобы доказать, что KO — средняя линия, нужно показать, что KO || AB и KO = \(\frac{1}{2}\)AB.

- Так как ABMK — параллелограмм, то KM || AB. Значит, KO || AB.

- Теперь рассмотрим треугольники BMO и DKO.

7. Рассмотрим треугольники BMO и DKO:

- \(\angle\)BOM = \(\angle\)DOK (вертикальные углы).

- \(\angle\)MBO = \(\angle\)KDO (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).

- BM = KD (так как BM = \(\frac{1}{2}\)BC, KD = \(\frac{1}{2}\)AD и BC = AD).

- Следовательно, треугольники BMO и DKO равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

8. Из равенства треугольников следует:

- BO = OD (соответствующие стороны равных треугольников).

- Значит, O — середина BD.

9. Вывод:

- Так как K — середина AD, O — середина BD, то KO — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника ABD.

- Следовательно, KO — средняя линия треугольника ABD.

Таким образом, мы доказали, что KO является средней линией треугольника ABD.

Ответ: KO - средняя линия треугольника ABD

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!